Wektory losowe

Wersja pdf

Wektor \(\mathbf{X} = (X_1, \ldots, X_n)\), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy \(n\)-wymiarowym wektorem losowym (krótko – wektorem losowym).

Funkcję \(F : \mathbb{R}^n \rightarrow [0, 1]\) określoną wzorem \[F(x_1, \ldots, x_n) = P({\omega : X_1(\omega) \leqslant x_1, \ldots , X_n(\omega) \leqslant x_n})\] nazywamy dystrybuantą rozkładu łącznego wektora losowego \(\mathbf{X} = (X_1, \ldots, X_n)\) lub krótko dystrybuantą wektora losowego \(\mathbf{X}\).

Funkcja \(f\) jest gęstością rozkładu pewnego wektora losowego \(\mathbf{X} = (X_1, \ldots, X_n)\) wtedy i tylko wtedy, gdy:

• \(f(x) \geqslant 0\), dla każdego \(x\in\mathbb{R}^n\)
• \[ \int_{-\infty}^{+\infty}\ldots \int_{-\infty}^{+\infty} f(x_1, \ldots , x_n)dx_1 \ldots x_n = 1.\]