43 LaTeX
43.1 Wprowadzenie do składni
LaTeX w Markdown pozwala na eleganckie przedstawienie wzorów matematycznych i statystycznych. Kluczową różnicą, którą musisz zrozumieć na początku, są dwa sposoby włączania wzorów: inline (w linii tekstu) i block (jako osobny blok).
43.2 Podstawowa składnia - inline vs block
43.2.1 Równania inline (w linii tekstu)
Wzory w linii tekstu otaczamy pojedynczymi znakami dolara:
Kod: $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$
Rezultat: Średnia arytmetyczna to \(\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i\) w tej linii tekstu.
43.2.2 Równania blokowe (wycentrowane)
Wzory jako osobne bloki otaczamy podwójnymi dolarami:
Kod:
$$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$$Rezultat: \[\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i\]
43.3 Podstawowe symbole matematyczne
Zacznijmy od fundamentów - podstawowych operatorów i symboli, które będziesz używać najczęściej.
43.3.1 Operatory arytmetyczne
| Kod | Rezultat | Opis |
|---|---|---|
$a + b$ |
\(a + b\) | Dodawanie |
$a - b$ |
\(a - b\) | Odejmowanie |
$a \times b$ |
\(a \times b\) | Mnożenie (krzyżyk) |
$a \cdot b$ |
\(a \cdot b\) | Mnożenie (kropka) |
$a \div b$ |
\(a \div b\) | Dzielenie |
$\frac{a}{b}$ |
\(\frac{a}{b}\) | Ułamek |
43.3.2 Symbole specjalne w analizie danych
| Kod | Rezultat | Zastosowanie |
|---|---|---|
$\infty$ |
\(\infty\) | Nieskończoność w granicach |
$\pm$ |
\(\pm\) | Przedziały ufności |
$\neq$ |
\(\neq\) | Hipotezy alternatywne |
$\leq$ |
\(\leq\) | Nierówności w testach |
$\geq$ |
\(\geq\) | Warunki brzegowe |
$\propto$ |
\(\propto\) | Proporcjonalność |
$\approx$ |
\(\approx\) | Przybliżenia |
43.4 Potęgi, indeksy i pierwiastki - podstawy notacji
43.4.1 Potęgi i indeksy
Potęgi zapisujemy używając ^, a indeksy dolne _. To fundamentalna składnia w statystyce:
Pojedyncze znaki: - Kod: $x^2$ → Rezultat: \(x^2\) - Kod: $x_1$ → Rezultat: \(x_1\)
Wieloznakowe wyrażenia (zawsze w nawiasach klamrowych): - Kod: $x^{n+1}$ → Rezultat: \(x^{n+1}\) - Kod: $x_{i,j}$ → Rezultat: \(x_{i,j}\)
Kombinowane: - Kod: $\sigma^2_x$ → Rezultat: \(\sigma^2_x\) (wariancja zmiennej x)
43.4.2 Pierwiastki
Kod: $\sqrt{x}$ → Rezultat: \(\sqrt{x}\)
Kod: $\sqrt[n]{x}$ → Rezultat: \(\sqrt[n]{x}\)
Kod: $\sqrt{x^2 + y^2}$ → Rezultat: \(\sqrt{x^2 + y^2}\) (odległość euklidesowa)
43.5 Frakcje i ułamki - serce wzorów statystycznych
43.5.1 Podstawowa składnia frakcji
Używamy polecenia \frac{licznik}{mianownik}:
Kod:
$$\frac{a}{b}, \quad \frac{x+1}{x-1}, \quad \frac{\partial f}{\partial x}$$Rezultat: \[\frac{a}{b}, \quad \frac{x+1}{x-1}, \quad \frac{\partial f}{\partial x}\]
Zwróć uwagę na \quad - to polecenie dodaje odstęp między wyrażeniami.
43.5.2 Frakcje zagnieżdżone
Kod:
$$\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}$$Rezultat: \[\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}\]
43.6 Sumy, iloczyny i całki - notacja agregatów
Te konstrukcje są kluczowe w analizie danych, więc przyjrzyjmy się im szczegółowo.
43.6.1 Sumy
Podstawowa suma inline:
Kod: $\sum_{i=1}^{n} x_i$ → Rezultat: \(\sum_{i=1}^{n} x_i\)
Suma w bloku z pełną notacją:
Kod:
$$\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1 + x_2 + \cdots + x_n$$Rezultat: \[\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1 + x_2 + \cdots + x_n\]
43.6.2 Iloczyny
Kod:
$$\prod_{i=1}^{n} x_i = x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n$$Rezultat: \[\prod_{i=1}^{n} x_i = x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n\]
43.6.3 Całki (w analizie ciągłej)
Całka nieoznaczona:
Kod: $\int f(x) dx$ → Rezultat: \(\int f(x) dx\)
Całka oznaczona:
Kod: $\int_a^b f(x) dx$ → Rezultat: \(\int_a^b f(x) dx\)
Całka podwójna:
Kod: $\iint_D f(x,y) \, dx \, dy$ → Rezultat: \(\iint_D f(x,y) \, dx \, dy\)
Zwróć uwagę na \, - to małe odstępy przed dx i dy.
43.7 Granice - podstawa analizy matematycznej
Kod:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$$Rezultat: \[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\]
Kod:
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$Rezultat: \[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]
43.8 Macierze i wektory - algebra liniowa w praktyce
43.8.1 Wektory kolumnowe
Kod:
$$\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$$Rezultat: \[\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\]
43.8.2 Macierze podstawowe
Macierz 2×2:
Kod:
$$A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}$$Rezultat: \[A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\]
Macierz identycznościowa:
Kod:
$$I = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$Rezultat: \[I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]
43.9 Praktyczne przykłady z analizy danych
Teraz przejdźmy do rzeczywistych wzorów, które używasz w codziennej pracy z danymi.
43.9.1 Statystyka opisowa
Średnia arytmetyczna:
Kod:
$$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$$Rezultat: \[\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i\]
Wariancja populacyjna:
Kod:
$$\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$$Rezultat: \[\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2\]
Odchylenie standardowe:
Kod:
$$\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$$Rezultat: \[\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}\]
Współczynnik korelacji Pearsona:
Kod:
$$r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}$$Rezultat: \[r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}\]
43.9.2 Prawdopodobieństwo i rozkłady
Prawo prawdopodobieństwa całkowitego:
Kod:
$$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i)P(B_i)$$Rezultat: \[P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i)P(B_i)\]
Wzór Bayesa:
Kod:
$$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$Rezultat: \[P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}\]
Rozkład normalny (funkcja gęstości):
Kod:
$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$Rezultat: \[f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\]
43.9.3 Regresja liniowa
Model regresji prostej:
Kod:
$$y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon$$Rezultat: \[y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon\]
Estymator najmniejszych kwadratów dla \(\beta_1\):
Kod:
$$\hat{\beta_1} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$$Rezultat: \[\hat{\beta_1} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}\]
Współczynnik determinacji R²:
Kod:
$$R^2 = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}} = 1 - \frac{\sum_i (y_i - \hat{y_i})^2}{\sum_i (y_i - \bar{y})^2}$$Rezultat: \[R^2 = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}} = 1 - \frac{\sum_i (y_i - \hat{y_i})^2}{\sum_i (y_i - \bar{y})^2}\]
43.9.4 Analiza szeregów czasowych
Funkcja autokorelacji:
Kod:
$$\rho_k = \frac{\sum_{t=k+1}^{n}(y_t - \bar{y})(y_{t-k} - \bar{y})}{\sum_{t=1}^{n}(y_t - \bar{y})^2}$$Rezultat: \[\rho_k = \frac{\sum_{t=k+1}^{n}(y_t - \bar{y})(y_{t-k} - \bar{y})}{\sum_{t=1}^{n}(y_t - \bar{y})^2}\]
Model ARIMA(p,d,q):
Kod:
$$\phi(B)(1-B)^d X_t = \theta(B)\epsilon_t$$Rezultat: \[\phi(B)(1-B)^d X_t = \theta(B)\epsilon_t\]
gdzie B to operator przesunięcia wstecz.
43.10 Uczenie maszynowe - wzory optymalizacji
43.10.1 Funkcje kosztu
Błąd średniokwadratowy (MSE):
Kod:
$$MSE = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y_i})^2$$Rezultat: \[MSE = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y_i})^2\]
Cross-entropy loss:
Kod:
$$H(p,q) = -\sum_{i=1}^{n} p_i \log q_i$$Rezultat: \[H(p,q) = -\sum_{i=1}^{n} p_i \log q_i\]
43.10.2 Funkcje aktywacji
Sigmoid:
Kod:
$$\sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}$$Rezultat: \[\sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}\]
ReLU:
Kod:
$$\text{ReLU}(x) = \max(0, x)$$Rezultat: \[\text{ReLU}(x) = \max(0, x)\]
Softmax:
Kod:
$$\text{softmax}(x_i) = \frac{e^{x_i}}{\sum_{j=1}^{n} e^{x_j}}$$Rezultat: \[\text{softmax}(x_i) = \frac{e^{x_i}}{\sum_{j=1}^{n} e^{x_j}}\]
43.10.3 Optymalizacja
Gradient descent:
Kod:
$$\theta_{t+1} = \theta_t - \alpha \nabla_\theta J(\theta)$$Rezultat: \[\theta_{t+1} = \theta_t - \alpha \nabla_\theta J(\theta)\]
gdzie \(\alpha\) to learning rate, a \(J(\theta)\) to funkcja kosztu.
43.11 Transformacje danych w wizualizacji
43.11.1 Standaryzacja i normalizacja
Standaryzacja (z-score):
Kod: $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$
Rezultat: \(z = \frac{x - \mu}{\sigma}\)
Normalizacja min-max:
Kod:
$$x_{norm} = \frac{x - x_{min}}{x_{max} - x_{min}}$$Rezultat: \[x_{norm} = \frac{x - x_{min}}{x_{max} - x_{min}}\]
43.11.2 Metryki podobieństwa
Odległość euklidesowa:
Kod:
$$d(p,q) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(p_i - q_i)^2}$$Rezultat: \[d(p,q) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(p_i - q_i)^2}\]
Odległość Manhattan:
Kod:
$$d(p,q) = \sum_{i=1}^{n}|p_i - q_i|$$Rezultat: \[d(p,q) = \sum_{i=1}^{n}|p_i - q_i|\]
Podobieństwo kosinusowe:
Kod:
$$\cos(\theta) = \frac{A \cdot B}{||A|| \cdot ||B||} = \frac{\sum_{i=1}^{n} A_i B_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} A_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n} B_i^2}}$$Rezultat: \[\cos(\theta) = \frac{A \cdot B}{||A|| \cdot ||B||} = \frac{\sum_{i=1}^{n} A_i B_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} A_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n} B_i^2}}\]
43.12 Zaawansowane techniki formatowania
43.12.1 Kontrola odstępów
Aby wzory były czytelne, kontroluj odstępy za pomocą tych poleceń:
| Kod | Rezultat | Opis |
|---|---|---|
$a \, b$ |
\(a \, b\) | Mały odstęp |
$a \: b$ |
\(a \: b\) | Średni odstęp |
$a \; b$ |
\(a \; b\) | Większy odstęp |
$a \quad b$ |
\(a \quad b\) | Duży odstęp |
$a \qquad b$ |
\(a \qquad b\) | Bardzo duży odstęp |
43.12.2 Wyrównywanie równań
Dla układów równań używamy środowiska align:
Kod:
\begin{align}
x + y &= 5 \\
2x - y &= 1
\end{align}Rezultat: \[\begin{align} x + y &= 5 \\ 2x - y &= 1 \end{align}\]
Znak & określa punkt wyrównania, a \\ kończy linię.
43.12.3 Tekst w równaniach
Używamy \text{} dla zwykłego tekstu w równaniach:
Kod:
$$P(\text{sukces}) = \frac{\text{liczba sukcesów}}{\text{liczba prób}}$$Rezultat: \[P(\text{sukces}) = \frac{\text{liczba sukcesów}}{\text{liczba prób}}\]
43.12.4 Przypadki i definicje po kawałkach
Kod:
$$f(x) = \begin{cases}
x^2 & \text{gdy } x \geq 0 \\
-x^2 & \text{gdy } x < 0
\end{cases}$$Rezultat: \[f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{gdy } x \geq 0 \\ -x^2 & \text{gdy } x < 0 \end{cases}\]
43.13 Często używane greckie litery w analizie danych
Greckie litery są powszechnie używane w statystyce i uczeniu maszynowym:
| Kod | Mała | Duża | Zastosowanie |
|---|---|---|---|
\alpha |
\(\alpha\) | A | Learning rate, poziom istotności |
\beta |
\(\beta\) | B | Współczynniki regresji |
\gamma |
\(\gamma\) | \(\Gamma\) | Funkcja gamma |
\delta |
\(\delta\) | \(\Delta\) | Różnice, gradienty |
\epsilon |
\(\epsilon\) | E | Błędy, tolerancja |
\theta |
\(\theta\) | \(\Theta\) | Parametry modelu |
\lambda |
\(\lambda\) | \(\Lambda\) | Regularyzacja, eigenvalues |
\mu |
\(\mu\) | M | Średnia populacyjna |
\sigma |
\(\sigma\) | \(\Sigma\) | Odchylenie standardowe, sumy |
\rho |
\(\rho\) | P | Korelacja |
\phi |
\(\phi\) | \(\Phi\) | Funkcja standardowego rozkładu normalnego |
43.14 Praktyczne wskazówki dla analityków danych
Gdy tworzysz dokumentację analityczną, pamiętaj o kilku kluczowych zasadach, które sprawią, że Twoje wzory będą nie tylko poprawne, ale także profesjonalnie wyglądające i czytelne.
Pierwszą zasadą jest konsekwentność w używaniu notacji. Jeśli raz zdecydujesz się używać \(\bar{x}\) dla średniej, trzymaj się tego przez cały dokument. Nie mieszaj z \(\mu\) bez wyjaśnienia różnicy. Podobnie z oznaczeniami indeksów - jeśli używasz \(i\) dla obserwacji, nie zmieniaj nagle na \(j\) bez powodu.
Drugą kluczową sprawą jest kontekst. Zawsze wyjaśnij, co oznaczają Twoje symbole. Po pierwszym użyciu wzoru dodaj definicję typu “gdzie \(n\) to liczba obserwacji, a \(x_i\) to \(i\)-ta obserwacja”. Czytelnik doceni jasność, nawet jeśli wydaje mu się to oczywiste.
Trzecią zasadą jest umiejętne łączenie wzorów z kodem. W Jupyter Notebook czy R Markdown często pokazujesz wzór teoretyczny, a potem jego implementację. Dbaj o spójność nazw zmiennych między wzorem a kodem - jeśli w wzorze masz \(\sigma^2\), to w kodzie użyj sigma_squared lub variance, nie var2 czy s.
Czwartą praktyczną wskazówką jest używanie numerowania wzorów dla referencji. W dłuższych dokumentach oznaczaj ważne wzory numerami, żeby móc się do nich później odwoływać.
43.15 Rozwiązywanie typowych problemów
Podczas pracy z LaTeX w Markdown możesz napotkać kilka typowych problemów. Najczęstszym błędem jest zapominanie o nawiasach klamrowych w indeksach i potęgach. Pamiętaj: pojedyncze znaki nie wymagają nawiasów ($x^2$), ale wyrażenia już tak ($x^{n+1}$).
Kolejnym częstym problemem są spacje w nazwach funkcji. LaTeX nie rozpoznaje sin jako funkcji - musisz użyć \sin. To samo dotyczy \log, \exp, \max, \min itp.
Trzecim problemem jest mieszanie stylów inline i blokowych. Jeśli wzór jest skomplikowany, lepiej użyj bloku ($$), nawet jeśli jest krótki. Czytelność jest najważniejsza.